Ⅲ. 함수와 그래프 실험실

교과서 정리를 펼쳐 보고, 대응을 직접 눌러 만들거나 상수를 바꾸며 함수와 그래프의 성질을 확인해 보세요.

Ⅲ-1함수

교과서 정리: 함수, 일대일대응, 합성함수, 역함수

X 의 각 원소에 Y 의 원소가 오직 하나씩 대응할 때 이 대응을 X 에서 Y 로의 함수 f : X → Y 라 해요.
X 를 정의역, Y 를 공역, 함숫값 전체의 집합 {f(x) | x ∈ X} 를 치역이라 해요. (치역 ⊂ 공역)
일대일함수: x₁ ≠ x₂ 이면 f(x₁) ≠ f(x₂) · 일대일대응: 일대일함수이고 치역 = 공역
항등함수: f(x) = x · 상수함수: 모든 x 에 대하여 f(x) = c
합성함수: (g ∘ f)(x) = g(f(x)). 교환법칙은 성립하지 않고(g ∘ f ≠ f ∘ g 일 수 있음), 결합법칙 h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f 은 성립해요.
역함수: f 가 일대일대응일 때만 존재하고, y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y), (f⁻¹ ∘ f)(x) = x, (f⁻¹)⁻¹ = f
함수 y = f(x) 와 역함수 y = f⁻¹(x) 의 그래프는 직선 y = x 에 대하여 대칭이에요.

X = Y = Z = {1, 2, 3} 이에요. 표의 숫자를 누르거나 드래그해서 화살표를 켜고 끄세요. 예시 버튼은 누를 때마다 그 종류의 다른 함수가 나와요. (한 x 에 화살표가 없거나 2개 이상이면 함수가 아니에요)

f 예시

g 예시

교과서 정리: 유리식과 유리함수의 그래프

유리함수: f(x) 가 x 에 대한 유리식인 함수. 정의역이 따로 없으면 분모를 0 으로 만들지 않는 실수 전체가 정의역이에요.
다항함수가 아닌 유리함수 중 y = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) 는 y = k/(x − p) + q (k ≠ 0) 꼴로 나타낼 수 있어요.
그래프: y = k/x 의 그래프를 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q 만큼 평행이동
점근선: x = p, y = q · 정의역 {x | x ≠ p}, 치역 {y | y ≠ q}
점 (p, q) 에 대하여 대칭이고, 두 직선 y = (x − p) + q, y = −(x − p) + q 에 대하여 대칭
바꾸는 방법: 분자를 분모로 나누어 몫과 나머지로 정리해요. 예) (2x + 1)/(x − 1) = 3/(x − 1) + 2

교과서 정리: 무리식과 무리함수의 그래프

유리함수 y = k / (x − p) + q 무리함수 y = ±√(a(x − p)) + q

k = 2 p = 1 q = −1

빨간 점선 그래프가 나오도록 위의 상수를 맞춰 보세요. 유리함수는 점근선부터, 무리함수는 시작점부터 맞추면 쉬워요.

평행이동 전 그래프 역함수와 y = x