Ⅰ. 도형의 방정식 실험실

교과서 정리를 펼쳐 보고, 좌표평면의 점과 슬라이더를 직접 움직이며 확인해 보세요.

Ⅰ-1평면좌표

교과서 정리: 두 점 사이의 거리, 선분의 내분점

두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
특히 원점 O 와 점 A(x₁, y₁) 사이의 거리: OA = √(x₁² + y₁²)
선분 AB 를 m : n (m > 0, n > 0) 으로 내분하는 점: P((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
선분 AB 의 중점 (1 : 1 로 내분하는 점): M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

m = 2 n = 1

교과서 정리: 직선의 방정식, 두 직선의 위치 관계, 점과 직선 사이의 거리

점 (x₁, y₁) 을 지나고 기울기가 m 인 직선: y − y₁ = m(x − x₁)
두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂) 를 지나는 직선 (x₁ ≠ x₂): y − y₁ = ((y₂ − y₁)/(x₂ − x₁))(x − x₁)
x절편 a, y절편 b 인 직선 (ab ≠ 0): x/a + y/b = 1 · 일반형: ax + by + c = 0 (a ≠ 0 또는 b ≠ 0)
두 직선 y = mx + n, y = m′x + n′ 이 평행 ⇔ m = m′, n ≠ n′, 일치 ⇔ m = m′, n = n′, 수직 ⇔ mm′ = −1
점 (x₁, y₁) 과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리: |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)

직선 ① 기울기 m = 1 직선 ① y절편 n = 1 직선 ② 기울기 m′ = −1 직선 ② y절편 n′ = −2

예시:

교과서 정리: 원의 방정식, 원과 직선의 위치 관계, 원의 접선

중심이 (a, b), 반지름이 r 인 원 (표준형): (x − a)² + (y − b)² = r²
일반형: x² + y² + Ax + By + C = 0 → 중심 (−A/2, −B/2), 반지름 √(A² + B² − 4C)/2 (단, A² + B² − 4C > 0)
원의 중심과 직선 사이의 거리를 d 라 하면 d < r: 두 점에서 만남, d = r: 접함, d > r: 만나지 않음
(판별식으로 보면) 원과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식에서 D > 0, D = 0, D < 0
원 x² + y² = r² 위의 점 (x₁, y₁) 에서의 접선: x₁x + y₁y = r² · 기울기가 m 인 접선: y = mx ± r√(m² + 1)

반지름 r = 3 기울기 m = 1 y절편 n = 2

교과서 정리: 평행이동, 대칭이동

점의 평행이동 (x축 방향 m, y축 방향 n): (x, y) → (x + m, y + n)
도형 f(x, y) = 0 의 평행이동: f(x − m, y − n) = 0 (x 대신 x − m, y 대신 y − n)
대칭이동 — x축: (x, −y), y축: (−x, y), 원점: (−x, −y), 직선 y = x: (y, x)
도형 f(x, y) = 0 의 대칭이동 — x축: f(x, −y) = 0, y축: f(−x, y) = 0, 원점: f(−x, −y) = 0, y = x: f(y, x) = 0

점 원 (반지름 2)

x축 방향 m = 3 y축 방향 n = −1

평행이동한 다음 대칭이동