Ⅱ. 집합과 명제 실험실
1부터 N까지의 수에 ‘2의 배수’, ‘12의 약수’, ‘소수’ 같은 조건을 붙여 집합을 만들고, 두 조건으로 명제를 만들어 벤 다이어그램으로 확인해 보세요.
Ⅱ-1 집합: 조건으로 집합을 만들고 연산하기
교과서 정리: 집합의 뜻과 표현, 포함 관계, 연산, 원소의 개수
- 집합: 기준이 명확해서 대상을 분명히 정할 수 있는 것들의 모임. a ∈ A (a 는 A 의 원소), b ∉ A
- 표현: 원소나열법 {2, 4, 6}, 조건제시법 {x | x 는 6 이하의 짝수}, 벤 다이어그램. 원소가 없는 집합은 공집합 ∅
- 부분집합 A ⊂ B: A 의 모든 원소가 B 의 원소. ∅ 은 모든 집합의 부분집합, A ⊂ B 이고 B ⊂ A ⇔ A = B
- 원소가 n 개인 집합의 부분집합은 2ⁿ 개, 진부분집합은 2ⁿ − 1 개
- 연산: 합집합 A ∪ B, 교집합 A ∩ B (A ∩ B = ∅ 이면 서로소), 차집합 A − B = A ∩ Bᶜ, 여집합 Aᶜ = U − A
- 드모르간의 법칙: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ, (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
- 원소의 개수: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), n(Aᶜ) = n(U) − n(A), n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
1. 전체집합 U 와 집합 A, B 정하기
전체집합 U = {1, 2, 3, …, }
A
B
2. 벤 다이어그램으로 연산하기
A ∪ B
3. 공식과 법칙이 실제로 맞을까?
식의 각 부분을 눌러 보세요. 그 부분이 벤 다이어그램에서 어디인지 색으로 보여 줍니다. (영역 안의 숫자는 원소의 개수)
합집합의 원소의 개수
드모르간의 법칙 ①
드모르간의 법칙 ②
Ⅱ-2 명제: 진리집합으로 참·거짓 판단하기
교과서 정리: 명제와 조건, 역·대우, 필요조건과 충분조건
- 명제: 참, 거짓을 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식 · 조건: 변수의 값에 따라 참, 거짓이 정해지는 문장이나 식
- 진리집합: 전체집합 U 에서 조건 p 를 참이 되게 하는 원소의 집합 P. 조건 p 의 부정 ~p 의 진리집합은 Pᶜ
- 명제 p → q 가 참 ⇔ P ⊂ Q. 거짓임을 보이려면 반례(P 에는 있고 Q 에는 없는 원소) 하나를 찾으면 돼요.
- 역: q → p, 대우: ~q → ~p. 명제와 그 대우는 참, 거짓이 항상 같아요.
- p ⇒ q 일 때 p 는 q 이기 위한 충분조건, q 는 p 이기 위한 필요조건. p ⇔ q 이면 필요충분조건 (P = Q)
4. 명제 p → q 만들기
전체집합 U = {1, 2, 3, …, }
예시:
5. 진리집합 P, Q 로 확인하기
P = { x | p(x) }, Q = { x | q(x) } : 조건을 참으로 만드는 원소의 모임
6. 역 · 대우
| 종류 | 명제 | 진리집합 | 참 / 거짓 | 반례 |
|---|
7. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어간 명제와 부정
교과서 정리: ‘모든’, ‘어떤’과 그 부정
- ‘모든 x 에 대하여 p’ 는 P = U 이면 참, 하나라도 p 를 만족시키지 않으면 거짓
- ‘어떤 x 에 대하여 p’ 는 P ≠ ∅ 이면 참 (p 를 만족시키는 x 가 하나라도 있으면 참)
- 부정: ‘모든 x 에 대하여 p’ 의 부정은 ‘어떤 x 에 대하여 ~p’, ‘어떤 x 에 대하여 p’ 의 부정은 ‘모든 x 에 대하여 ~p’
위 4번에서 고른 조건 p 와 전체집합 U 로 판단해요.
| 명제 | 판단 근거 | 참 / 거짓 |
|---|
8. 명제의 증명
교과서 정리: 정의, 정리, 증명 / 대우를 이용한 증명
- 정의: 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장 · 증명: 이미 참이라고 밝혀진 사실을 근거로 명제가 참임을 보이는 과정 · 정리: 참임이 증명된 명제 중 기본이 되는 것
- 대우를 이용한 증명: p → q 대신 대우 ~q → ~p 가 참임을 보여요. (명제와 대우는 참, 거짓이 같으니까)